temporal omp demo

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.10%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22matplotlib%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.19.4%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Temporal%20OMP%20for%20Frame%20Reconstruction%0A%0A%20%20%20%20This%20interactive%20demo%20shows%20how%20**Orthogonal%20Matching%20Pursuit%20(OMP)**%20with%20temporal%20augmentation%0A%20%20%20%20can%20reconstruct%20a%20target%20video%20frame%20as%20a%20sparse%20combination%20of%20basis%20frames.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20The%20Problem%0A%20%20%20%20Given%20a%20sequence%20of%20N%20video%20frames%20(each%20represented%20as%20a%20YCbCr%20triplet)%2C%20we%20want%20to%20represent%0A%20%20%20%20a%20target%20frame%20as%20a%20sparse%20linear%20combination%20of%20the%20basis%20frames%2C%20with%20a%20preference%20for%0A%20%20%20%20temporally%20adjacent%20frames.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20The%20Algorithm%0A%20%20%20%20The%20key%20insight%20is%20to%20**augment**%20the%20dictionary%20with%20temporal%20tags%20that%20encourage%20OMP%20to%0A%20%20%20%20select%20frames%20that%20are%20close%20in%20time.%20The%20temporal%20tags%20use%20a%20forward-biased%20weighting%0A%20%20%20%20scheme%20%60w_t%20%3D%201%20%2B%20%CF%81t%60%20that%20guarantees%20monotonic%20forward%20progress%20in%20the%20reconstruction.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%0A%20%20%20%20def%20orthogonal_matching_pursuit(X%2C%20y%2C%20n_nonzero_coefs)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Pure%20NumPy%20implementation%20of%20Orthogonal%20Matching%20Pursuit.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Parameters%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-----------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X%20%3A%20ndarray%20of%20shape%20(n_features%2C%20n_atoms)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Dictionary%20matrix%20(columns%20are%20atoms)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%20%3A%20ndarray%20of%20shape%20(n_features%2C)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Target%20signal%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n_nonzero_coefs%20%3A%20int%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Maximum%20number%20of%20nonzero%20coefficients%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20--------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20coef%20%3A%20ndarray%20of%20shape%20(n_atoms%2C)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Sparse%20coefficient%20vector%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n_features%2C%20n_atoms%20%3D%20X.shape%0A%20%20%20%20%20%20%20%20coef%20%3D%20np.zeros(n_atoms)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20residual%20%3D%20y.copy()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20support%20%3D%20%5B%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_%20in%20range(n_nonzero_coefs)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Find%20atom%20most%20correlated%20with%20residual%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20correlations%20%3D%20np.abs(X.T%20%40%20residual)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20correlations%5Bsupport%5D%20%3D%20-np.inf%20%20%23%20Exclude%20already%20selected%20atoms%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20best_atom%20%3D%20np.argmax(correlations)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20correlations%5Bbest_atom%5D%20%3C%201e-10%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%20%20%23%20Residual%20is%20essentially%20zero%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20support.append(best_atom)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Solve%20least%20squares%20on%20selected%20atoms%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20X_support%20%3D%20X%5B%3A%2C%20support%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20coef_support%20%3D%20np.linalg.lstsq(X_support%2C%20y%2C%20rcond%3DNone)%5B0%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Update%20residual%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20residual%20%3D%20y%20-%20X_support%20%40%20coef_support%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Fill%20in%20coefficients%20for%20selected%20atoms%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%2C%20idx%20in%20enumerate(support)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20coef%5Bidx%5D%20%3D%20coef_support%5Bi%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20coef%0A%20%20%20%20return%20np%2C%20orthogonal_matching_pursuit%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Core%20algorithm%20functions%20(from%20mosaic-basis)%0A%0A%20%20%20%20def%20choose_gamma(y%2C%20X%2C%20delta_w%2C%20tau%3D0.05%2C%20safety%3D1.25%2C%20mode%3D%22global%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Compute%20gamma%20that%20guarantees%20forward%20step%20in%20OMP.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20mode%20%3D%3D%20%22empirical%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Xn%20%3D%20X%20%2F%20(np.linalg.norm(X%2C%20axis%3D0%2C%20keepdims%3DTrue)%20%2B%201e-12)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20M0%20%3D%20float(np.max(np.abs(Xn.T%20%40%20y)))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20M0%20%3D%20float(np.linalg.norm(y))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gamma%20%3D%20np.sqrt((2.0%20*%20M0%20*%20safety)%20%2F%20(tau%20*%20delta_w))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20float(gamma)%0A%0A%20%20%20%20def%20build_temporal_tags(N%2C%20rho%3D0.02)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Build%20two-hot%20temporal%20tags%20with%20forward%20bias.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20w%20%3D%201.0%20%2B%20rho%20*%20np.arange(N%20%2B%201%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20V%20%3D%20np.zeros((N%2C%20N)%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20t%20in%20range(N)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20V%5Bt%2C%20t%5D%20%2B%3D%20np.sqrt(w%5Bt%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20t%20%2B%201%20%3C%20N%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20V%5Bt%20%2B%201%2C%20t%5D%20%2B%3D%20np.sqrt(w%5Bt%20%2B%201%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20V%2C%20w%0A%0A%20%20%20%20def%20augment_dictionary_framewise(ycbcr_series%2C%20target_vec%2C%20rho%3D0.02%2C%20tau%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20safety%3D1.25%2C%20gamma%3DNone%2C%20mode%3D%22empirical%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Build%20augmented%20dictionary%20for%20OMP%20with%20temporal%20tags.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X%20%3D%20ycbcr_series.astype(float).T%20%20%23%20(3%2C%20N)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20norms%20%3D%20np.linalg.norm(X%2C%20axis%3D0)%20%2B%201e-12%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X%20%3D%20X%20%2F%20norms%0A%20%20%20%20%20%20%20%20N%20%3D%20X.shape%5B1%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%20%3D%20np.asarray(target_vec%2C%20dtype%3Dfloat).reshape(3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_norm%20%3D%20y%20%2F%20(np.linalg.norm(y)%20%2B%201e-12)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20V%2C%20w%20%3D%20build_temporal_tags(N%2C%20rho%3Drho)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20delta_w%20%3D%20float(np.min(np.diff(w)))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20gamma%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gamma%20%3D%20choose_gamma(y_norm%2C%20X%2C%20delta_w%2C%20tau%3Dtau%2C%20safety%3Dsafety%2C%20mode%3Dmode)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X_aug%20%3D%20np.vstack(%5BX%2C%20gamma%20*%20V%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_aug%20%3D%20np.concatenate(%5By_norm%2C%20np.zeros(N)%5D)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Renormalize%20columns%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X_aug%20%3D%20X_aug%20%2F%20(np.linalg.norm(X_aug%2C%20axis%3D0%2C%20keepdims%3DTrue)%20%2B%201e-12)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20X_aug%2C%20y_aug%2C%20float(gamma)%2C%20dict(N%3DN%2C%20rho%3Drho%2C%20V%3DV%2C%20w%3Dw%2C%20norms%3Dnorms)%0A%20%20%20%20return%20(augment_dictionary_framewise%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Interactive%20Parameters%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Parameter%20controls%0A%20%20%20%20n_frames_slider%20%3D%20mo.ui.slider(10%2C%2050%2C%20value%3D20%2C%20step%3D5%2C%20label%3D%22Number%20of%20frames%20(N)%22)%0A%20%20%20%20target_pos_slider%20%3D%20mo.ui.slider(0.0%2C%201.0%2C%20value%3D0.26%2C%20step%3D0.02%2C%20label%3D%22Target%20position%20(0-1)%22)%0A%20%20%20%20rho_slider%20%3D%20mo.ui.slider(0.005%2C%200.1%2C%20value%3D0.02%2C%20step%3D0.005%2C%20label%3D%22Temporal%20weight%20increment%20(%CF%81)%22)%0A%20%20%20%20tau_slider%20%3D%20mo.ui.slider(0.01%2C%200.2%2C%20value%3D0.05%2C%20step%3D0.01%2C%20label%3D%22Min%20coefficient%20threshold%20(%CF%84)%22)%0A%20%20%20%20n_coefs_slider%20%3D%20mo.ui.slider(1%2C%206%2C%20value%3D3%2C%20step%3D1%2C%20label%3D%22Max%20nonzero%20coefficients%22)%0A%20%20%20%20seed_slider%20%3D%20mo.ui.slider(0%2C%20100%2C%20value%3D7%2C%20step%3D1%2C%20label%3D%22Random%20seed%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bn_frames_slider%2C%20target_pos_slider%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Brho_slider%2C%20tau_slider%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bn_coefs_slider%2C%20seed_slider%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n_coefs_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n_frames_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rho_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20seed_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20target_pos_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tau_slider%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20augment_dictionary_framewise%2C%0A%20%20%20%20n_coefs_slider%2C%0A%20%20%20%20n_frames_slider%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20orthogonal_matching_pursuit%2C%0A%20%20%20%20rho_slider%2C%0A%20%20%20%20seed_slider%2C%0A%20%20%20%20target_pos_slider%2C%0A%20%20%20%20tau_slider%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Generate%20data%20and%20run%20OMP%0A%20%20%20%20rng%20%3D%20np.random.default_rng(seed_slider.value)%0A%20%20%20%20N%20%3D%20n_frames_slider.value%0A%20%20%20%20series%20%3D%20rng.normal(size%3D(N%2C%203))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Smooth%20the%20series%20a%20bit%20to%20simulate%20real%20video%20frames%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range(1%2C%20N)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20series%5Bi%5D%20%3D%200.7%20*%20series%5Bi%5D%20%2B%200.3%20*%20series%5Bi-1%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20Target%20position%20as%20fraction%20through%20the%20sequence%0A%20%20%20%20pos%20%3D%20target_pos_slider.value%0A%20%20%20%20idx%20%3D%20int(pos%20*%20(N%20-%201))%0A%20%20%20%20idx%20%3D%20min(idx%2C%20N%20-%202)%0A%20%20%20%20frac%20%3D%20pos%20*%20(N%20-%201)%20-%20idx%0A%20%20%20%20target%20%3D%20series%5Bidx%5D%20%2B%20frac%20*%20(series%5Bidx%20%2B%201%5D%20-%20series%5Bidx%5D)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Run%20augmented%20OMP%0A%20%20%20%20X_aug%2C%20y_aug%2C%20gamma%2C%20meta%20%3D%20augment_dictionary_framewise(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20series%2C%20target%2C%20rho%3Drho_slider.value%2C%20tau%3Dtau_slider.value%2C%20safety%3D1.25%2C%20mode%3D%22empirical%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Use%20our%20pure%20NumPy%20OMP%20implementation%0A%20%20%20%20coef%20%3D%20orthogonal_matching_pursuit(X_aug%2C%20y_aug%2C%20n_nonzero_coefs%3Dn_coefs_slider.value)%0A%20%20%20%20support%20%3D%20np.flatnonzero(coef)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Reconstruct%20the%20target%20from%20chosen%20basis%20frames%0A%20%20%20%20X_orig%20%3D%20series.T%20%2F%20(np.linalg.norm(series.T%2C%20axis%3D0%2C%20keepdims%3DTrue)%20%2B%201e-12)%0A%20%20%20%20reconstruction%20%3D%20X_orig%20%40%20coef%0A%20%20%20%20reconstruction%20%3D%20reconstruction%20*%20np.linalg.norm(target)%20%20%23%20Scale%20back%0A%0A%20%20%20%20reconstruction_error%20%3D%20np.linalg.norm(target%20-%20reconstruction)%0A%20%20%20%20return%20N%2C%20coef%2C%20gamma%2C%20idx%2C%20reconstruction_error%2C%20series%2C%20support%2C%20target%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Results%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(coef%2C%20gamma%2C%20idx%2C%20mo%2C%20reconstruction_error%2C%20support)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20OMP%20Selection%20Results%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**Target%20position%3A**%20Between%20frames%20%7Bidx%7D%20and%20%7Bidx%20%2B%201%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**Selected%20support%20(frame%20indices)%3A**%20%7Blist(support)%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**Coefficients%3A**%20%7B%5Bf%22%7Bc%3A.3f%7D%22%20for%20c%20in%20coef%5Bsupport%5D%5D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**Gamma%20(temporal%20scale)%3A**%20%7Bgamma%3A.2f%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**Reconstruction%20error%3A**%20%7Breconstruction_error%3A.4f%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(N%2C%20coef%2C%20idx%2C%20np%2C%20plt%2C%20series%2C%20support%2C%20target)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Visualization%0A%20%20%20%20fig%2C%20axes%20%3D%20plt.subplots(2%2C%202%2C%20figsize%3D(12%2C%208))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%201%3A%20Frame%20series%20in%20YCbCr%20space%20(Y%20component)%0A%20%20%20%20ax1%20%3D%20axes%5B0%2C%200%5D%0A%20%20%20%20frames%20%3D%20np.arange(N)%0A%20%20%20%20ax1.plot(frames%2C%20series%5B%3A%2C%200%5D%2C%20'b-'%2C%20label%3D'Y%20channel'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20ax1.plot(frames%2C%20series%5B%3A%2C%201%5D%2C%20'g-'%2C%20label%3D'Cb%20channel'%2C%20linewidth%3D2%2C%20alpha%3D0.7)%0A%20%20%20%20ax1.plot(frames%2C%20series%5B%3A%2C%202%5D%2C%20'r-'%2C%20label%3D'Cr%20channel'%2C%20linewidth%3D2%2C%20alpha%3D0.7)%0A%20%20%20%20ax1.axvline(x%3Didx%20%2B%200.5%2C%20color%3D'orange'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20linewidth%3D2%2C%20label%3D'Target%20position')%0A%20%20%20%20ax1.scatter(%5Bidx%20%2B%200.5%5D%2C%20%5Btarget%5B0%5D%5D%2C%20color%3D'orange'%2C%20s%3D100%2C%20zorder%3D5%2C%20marker%3D'*')%0A%20%20%20%20ax1.scatter(support%2C%20series%5Bsupport%2C%200%5D%2C%20color%3D'purple'%2C%20s%3D150%2C%20zorder%3D5%2C%20marker%3D'o'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolors%3D'black'%2C%20linewidths%3D2%2C%20label%3D'Selected%20frames')%0A%20%20%20%20ax1.set_xlabel('Frame%20Index')%0A%20%20%20%20ax1.set_ylabel('YCbCr%20Value')%0A%20%20%20%20ax1.set_title('Frame%20Sequence%20with%20OMP%20Selection')%0A%20%20%20%20ax1.legend(loc%3D'upper%20right')%0A%20%20%20%20ax1.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%202%3A%20Coefficient%20magnitudes%0A%20%20%20%20ax2%20%3D%20axes%5B0%2C%201%5D%0A%20%20%20%20colors%20%3D%20%5B'purple'%20if%20i%20in%20support%20else%20'lightgray'%20for%20i%20in%20range(N)%5D%0A%20%20%20%20ax2.bar(frames%2C%20np.abs(coef)%2C%20color%3Dcolors%2C%20edgecolor%3D'black')%0A%20%20%20%20ax2.set_xlabel('Frame%20Index')%0A%20%20%20%20ax2.set_ylabel('%7CCoefficient%7C')%0A%20%20%20%20ax2.set_title('OMP%20Coefficient%20Magnitudes')%0A%20%20%20%20ax2.grid(True%2C%20alpha%3D0.3%2C%20axis%3D'y')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%203%3A%203D%20visualization%20of%20frames%20and%20target%0A%20%20%20%20ax3%20%3D%20axes%5B1%2C%200%5D%0A%20%20%20%20ax3%20%3D%20fig.add_subplot(2%2C%202%2C%203%2C%20projection%3D'3d')%0A%20%20%20%20ax3.scatter(series%5B%3A%2C%200%5D%2C%20series%5B%3A%2C%201%5D%2C%20series%5B%3A%2C%202%5D%2C%20c%3Dframes%2C%20cmap%3D'viridis'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D50%2C%20alpha%3D0.6%2C%20label%3D'Frames')%0A%20%20%20%20ax3.scatter(series%5Bsupport%2C%200%5D%2C%20series%5Bsupport%2C%201%5D%2C%20series%5Bsupport%2C%202%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20c%3D'purple'%2C%20s%3D200%2C%20marker%3D'o'%2C%20edgecolors%3D'black'%2C%20linewidths%3D2%2C%20label%3D'Selected')%0A%20%20%20%20ax3.scatter(%5Btarget%5B0%5D%5D%2C%20%5Btarget%5B1%5D%5D%2C%20%5Btarget%5B2%5D%5D%2C%20c%3D'orange'%2C%20s%3D300%2C%20marker%3D'*'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolors%3D'black'%2C%20linewidths%3D2%2C%20label%3D'Target')%0A%20%20%20%20ax3.set_xlabel('Y')%0A%20%20%20%20ax3.set_ylabel('Cb')%0A%20%20%20%20ax3.set_zlabel('Cr')%0A%20%20%20%20ax3.set_title('YCbCr%20Space')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%204%3A%20Temporal%20weights%0A%20%20%20%20ax4%20%3D%20axes%5B1%2C%201%5D%0A%20%20%20%20w%20%3D%201.0%20%2B%200.02%20*%20np.arange(N)%0A%20%20%20%20ax4.plot(frames%2C%20w%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2%2C%20label%3D'Temporal%20weight%20w_t')%0A%20%20%20%20ax4.fill_between(frames%2C%201%2C%20w%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20ax4.scatter(support%2C%20w%5Bsupport%5D%2C%20color%3D'purple'%2C%20s%3D150%2C%20zorder%3D5%2C%20marker%3D'o'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolors%3D'black'%2C%20linewidths%3D2%2C%20label%3D'Selected%20frames')%0A%20%20%20%20ax4.set_xlabel('Frame%20Index')%0A%20%20%20%20ax4.set_ylabel('Weight%20w_t%20%3D%201%20%2B%20%CF%81t')%0A%20%20%20%20ax4.set_title('Forward-Biased%20Temporal%20Weights')%0A%20%20%20%20ax4.legend()%0A%20%20%20%20ax4.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20fig%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20How%20It%20Works%0A%0A%20%20%20%201.%20**Dictionary%20Augmentation**%3A%20Each%20frame%20vector%20is%20augmented%20with%20temporal%20tags%20that%20encode%0A%20%20%20%20%20%20%20its%20position%20in%20the%20sequence.%20These%20tags%20use%20a%20two-hot%20encoding%20with%20forward-biased%20weights.%0A%0A%20%20%20%202.%20**Forward%20Bias**%3A%20The%20weight%20schedule%20%60w_t%20%3D%201%20%2B%20%CF%81t%60%20creates%20a%20monotonically%20increasing%0A%20%20%20%20%20%20%20preference%20for%20later%20frames%2C%20which%20helps%20OMP%20make%20consistent%20forward%20progress.%0A%0A%20%20%20%203.%20**Gamma%20Scaling**%3A%20The%20temporal%20tags%20are%20scaled%20by%20%CE%B3%20to%20balance%20the%20data%20fidelity%20term%0A%20%20%20%20%20%20%20against%20the%20temporal%20regularization.%0A%0A%20%20%20%204.%20**OMP%20Selection**%3A%20Standard%20OMP%20then%20selects%20the%20k%20most%20important%20atoms%20from%20this%0A%20%20%20%20%20%20%20augmented%20dictionary%2C%20naturally%20preferring%20frames%20close%20to%20the%20target%20position.%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20*Implementation%20from%20%5Bmosaic-basis%5D(https%3A%2F%2Fgithub.com%2Fegoughnour%2Fmosaic-basis)%20-%0A%20%20%20%20Forward-biased%20frame%20selection%20for%20OMP%20to%20reconstruct%20frame%20sequences.*%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A